Números Transfinitos

De PortalJC

Goerge Cantor(1845 –1918) estudou sistematicamenteo conceito de potência de um conjunto,mas ao contrário de Dedekind, concluiu que os conjuntos infinitos não são todos iguais. Mostrou que numeros racionais são densos, ou seja por mais próximos que estejam dois números, sempre vai haver um outro número entre eles. Então entre dois números quaisquer existem infinitos outros números.

As placas tectónicas da Terra foram cartografadas na segunda metade do século XX

Pensava-se que todos os conjuntos de infinitos possuiam a mesma grandeza, mas Cantor provou de forma conclusiva que isso não era verdade, pois a quantidade de números dos conjunto dos reais era maior do que a dos racionais. Cantor dizia que os números Reais podiam ser subdivididos de duas maneiras:

 i)Como Racionais e Irracionais
 ii)Como Algébricos e Transcendentes

Cantor demonstrou que os números Algébrico possuí a mesma "potência" dos números inteiros, então são os Transcendentes que dão a "densidade" que resulta em uma potência maior. Foram essas observações de cantor que levou ao desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos.

Cantor designou os números cardinais pela letra $\aleph$ - "alef", primeira letra do alfabeto hebraico. E utiliza indices i tal que: $\aleph_i , i\in\mathbb{N}$

Ao conjunto dos naturais ele atribuiu o cardinal transfinito $\alef_0$ , $\alef_0$ é um número infinito e portanto não há como compara-lo com um outro número natural. Existem outros conjuntos com o mesmo "infinito" dos naturais, ou a mesma possança $\alef_0$ , como o conjunto dos números pares.0,2,4,6,8... assim como o conjunto dos pareso conjunto dos números ímpares também possuem uma potência $\alef_0$ . Apesar de no conjunto dos pares existir "aparentemente" metade dos números existentens no conjunto dos números Naturais, ou seja ${\aleph_0 \over 2}$ . Mas como $\alef_0$ é um "infinito" entao qualquer comparação com um número não diz nada portanto ${\aleph_0 \over 2} = \alef_0$

Os números racionais também possuem a mesma possança $\alef_0$ , arranjando os números racionais como uma tabela.

Arranjo de números racionais

Podemos enumerar os racionais de forma $\frac{1}{1} , \frac{1}{2}, \frac{2}{1} , \frac{1}{3}, \frac{2}{2} , ...$ e eliminando os elementos que podem ser simplificados então fazemos uma equivalência com os números naturais mostrando que os racionais possuem uma possança $\alef_0$ .

Então existe diversos conjuntos que ainda não foram citados que possuem o mesmo infinito, mas todos são feitos apartir da enumeração dos reais. Então podemos fazer um conjunto A em que cada elemento é um subconjunto dos naturais (ex. conjunto dos pares), agora se fossemos tentar ordenar esse conjunto segundo a soma dos elementos de cada subconjunto, não haveria forma de expressar os subconjuntos infinitos. Isso levou Cantor a propor a possança $\alef_1$ . O fato de um conjunto possuir a possança $\alef_1$ significa que ele é um conjunto infinito de tal maneira que não pode ser colocado em correspondência bi-únivoca com conjunto A. A classe de todos os conjuntos equivalentes ao conjunto potência de A define o número cardinal $\alef_1$ .

Agora vamos ao conjunto dos reais, o conjunto dos reais contém o conjunto dos números inteiros,racionais e irracionais. Podemos provar que ele não é equivalente ao conjunto dos naturais.

Pegando um intervalo $(0,1)$ vamos supor que:

$x 1 = 0, d 11 d 21 d 31 ...$ (é o primeiro numero do intervalo)

$x 2 = 0, d 12 d 22 d 32 ...$ (é o segundo numero do intervalo)

$x 2 = 0, d 13 d 23 d 33 ...$ (é o terceiro numero do intervalo)

$x n = 0, d n 3 d n 3 d n 3 ...$ (é o n-ésimo numero do intervalo)

agora vamos contruir um numero de tal forma que:

$p_1 = 0,p_1p_2p_3 \mbox{em que para } k = 1,2,3,... \{ \begin{matrix} p_k = 1, & \mbox{se } d_{kk} \ne 1 \\p_k=2, & \mbox{se } d_{kk} = 1 \end{matrix}$

Acabamos de construir um numero que nao pertence a x, então não existe um número natural equivalente para enumera-lo, logo não possuí possança $\aleph_0$ . Os números reias então possuem uma possança $\aleph_1$ e a mesma cardinalidade do conjunto A.

Agora fazendo conjunto dos subconjunto dos Reais (ex. Pontos de uma reta), pode-se demonstrar que que esse conjunto possui umas possança maior que a dos conjuntos reais, e portanto $\aleph_2$ , fazendo isso recursivamente obtem-se $\aleph_i$ .