Cálculo Combinatório

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O cálculo combinatório tem por objetivo estudar problemas relativo a agrupamentos obtidos a apartir de um conjunto.

Conteúdo

Conjuntos Equipotentes:

  • Dois Conjuntos são equipotentes se existe uma bijeção entre eles.
  • Dois conjuntos que tem o mesmo número de elementos se forem equipotentes.
  • O número de elementos de A, chamado de cardinalidade de A, card(A) ou \left | A \right |

Cardinal de Conjuntos

  • Cardinal da união:
card(A \cup B)= card(A)+ card(B)- card(A \cap B)
  • Cardinal da união disjunta:
card(\cup _{i=1}^{n}A_{i})= \sum _{i=1}^{n}card(A_{i})
  • Cardinal do cartesiano:
\begin{cases} card(A_{1} \times A_{2} \times,\cdots,\times A_{n})= card(A_{1})\cdot card(A_{2}),\cdots,card(A_{n}) \\ card(A ^{n})=card(A)^{n} \end{cases}
  • Cardinal P(A) das partes de A:
\begin{cases} card(P(A))= 2^{card(A^2)} \\ card(P(A))= 2^{card(A)^2} \\ card(P(A))= 2^{n^{2}} \\ \end{cases}

Arranjo, Permutação e Combinação sem repetições:

  • Arranjo - agrupamento com ordem:
\begin{cases} A_{p}^{m}=m(m-1)(m-2)...(m-p+1) \\ A_{p}^{m}=\frac{m!}{(m-p)!} \end{cases}
  • Permutação - agrupamento com ordem:
\begin{cases} P_{m}=m! \end{cases}
  • Combinação - agrupamento sem ordem:
\begin{cases} C_{p}^{m}={n \choose k} \\ C_{p}^{m}=\frac{m!}{p!(m-p)!} \end{cases}

Binômio de Newton:

O triângulo de Pascal:

  • Potências sucessivas de (1 + x):
\begin{cases} (1+x)^{0}=1 \\ (1+x)^{1}=1+x \\ (1+x)^{2}=1+2x+x^2 \\ (1+x)^{3}=1+3x+3x^2+x^3 \\ \cdots \end{cases}
  • Triângulo dos coeficientes:
\begin{cases} 1 \\ 1\quad 1\\ 1\quad 2\quad 1 \\ 1\quad 3\quad 3\quad 1 \\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1 \\ \cdots \end{cases}
  • Triângulo binomial:
\begin{cases} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}\quad {1 \choose 1}\\ {2 \choose 0}\quad {2 \choose 1}\quad {2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}\quad {3 \choose 1}\quad {3 \choose 2}\quad {3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}\quad {4 \choose 1}\quad {4 \choose 2}\quad {4 \choose 3}\quad {4 \choose 4} \\ \cdots \end{cases}

Propriedades do Binômio de Newton:

  • Lei de formação de Pascal:
\begin{cases} {n \choose k}+ {n-1 \choose k}+ {n-1 \choose k-1} \end{cases}
  • Soma da linha k-esima:
\begin{cases} {n \choose 0}+ {n \choose 1}+ {n \choose 2}+...+ {n \choose n} = 2^{n} \end{cases}
  • O Binômio:
\begin{cases} (1+x)^{n}= {n \choose 0}+ {n \choose 1}x+ {n \choose 2}x^{2}+...+ {n \choose k}x^{k}+...+ {n \choose n}x^{n} \\ (1+x)^{n}= \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k} \\ (x+y)^{n}= \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k} \end{cases}

O Teorema Binomial de Newton:

  • Se \left | x/y \right | \le 1
\begin{cases} (x+y)^{\alpha}= \sum _{k=0}^{ \infty}{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha-k} \end{cases}
  • Se \left | z \right | \le 1
\begin{cases} (1+z)^{\alpha}= \sum _{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}z^{k} \end{cases}

Generalização do Binômio de Newton: n elemetos em grupos de ni repetições:

\begin{cases} \sum _{i=1}^{k}n_{i}=n \\ {n \choose n_{1},\cdots,n_{k}}=n!/(n_{1}!n_{2}! \cdots n_{k}!)\\ (x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{k})^{n} = \sum _{n_{1}+n_{2}+ \cdots n_{k}=n}{n \choose n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}} x_{1}^{n_{1}} x_{2}^{n_{2}} \cdots x_{k}^{n_{k}} \end{cases}
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